Ganzrationale Funktion

Ganzrationale Funktion durch Punkte bestimmen

Mit der Gauß-App lassen sich ganz einfach ganzrationale Funktionen bestimmen, die durch eine beliebige Anzahl an Punkten verlaufen. Sucht man eine Funktion durch n Punkte, so hat findet eine Funktion mit einem Grad nicht größer als n. Dazu muss man verstehen, wie eine ganzrationale Funktion aufgebaut ist. Nehmen wir eine Funktion dritten Grades: f(x)=a*x²+b*x+c. Diese Funktion könnte man auch so schreiben: f(x)=a*x2+b*x1+c*x0.

Man habe nun drei Punkte gegeben, z. B. A(1|0), B(-1|6) und C(5|36), und sucht eine ganzrationale Funktion dritten Grades, die durch diese Punkte verläuft. Das heißt, man setzt die Punkte jeweils in die Funktion f ein. Für A ergäbe das dann 0=a*12+b*11+c*10. Führt man diesen Schritt auch für die anderen beiden Punkte durch, so erhält man ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen und drei Unbekannten, das man dann mit dem Gauß-Algorithmus lösen kann. Die Matrix sähe folgendermaßen aus:

   a  b  c
(  1  1  1 |  0 )
(  1 -1  1 |  6 )
( 25  5  1 | 36 )

Löst man dieses Gleichungssystem auf, so erhält man die Lösung L={(2|-3|1)}. Das heißt a=2, b=-3 und c=1. Die endgültige Gleichung hieße dann: f(x)=2*x²-3*x+1. Zur Probe kann man auch die Punkte in die Funktion einsetzen und wenn man alles richtig gemacht hat, dann liegen die Punkte auch alle auf dem Graphen der Funktion.

Long shadow generator

Long Shadow Design

I guess all of you have already heard the word “flat design”. It isn’t anything new today, as Jeff Escalante tells us in his blog post:

Let’s be honest guys, flat design is so old already.

In this post he introduces the long shadow design, which basically just extends the flat design by a simple shadow. However, this shadow has to be at least 2.5 times longer than the original object and it should also be in an exact 45 degree angle. If you follow those simple rules, you will get some nice and catchy results.

To create such icons, some tools exist for photoshop already (eg. here or here). However, as already said, they depend on photoshop. This is the reason why I started to create a small tool that can create simple icons with long shadows in the browser. It is still under development, but you can already take a look at it and try it out.

Usage

You can insert any icon you like but please notice that it will only work for images with very few colors. Then select the color of the foreground so all parts of the image with this foreground will get a shadow. Also set the shadow color which defines the color the shadow will have. In addition you can also set the length of the shadow (in pixel). If you don’t insert a value, the shadow will be “endless”.

I hope you enjoy it. And to quote Jeff Escalante again: Get out there and work that long shadow design!